Haber: el verbo
Haber es un verbo, usado como auxiliar ("he comido", "habían llegado") o en la forma impersonal "hay" ("hay mucha gente").
A ver: "vamos a ver"
A ver es la preposición "a" seguida del verbo "ver" en infinitivo, y normalmente equivale a "veamos" o "vamos a comprobarlo": "A ver qué pasa", "a ver si llegas a tiempo".
El truco
Si puedes sustituir por "veamos" o "vamos a comprobar", es a ver. Si la palabra funciona como parte del verbo haber (hay, he, has, había...), es haber.
Ejemplos
Haber (verbo): "Debe haber una solución", "va a haber una fiesta", "ha habido muchos cambios".
A ver (expresión): "A ver, explícame otra vez", "vamos a ver la película", "a ver si entiendo bien".
Preguntas frecuentes
¿Cómo distingo rápido "haber" de "a ver"?
Si puedes reemplazar por "veamos", es "a ver". Si es parte del verbo (hay, ha, había), es "haber".
"A ver si llueve" ¿está bien escrito así?
Sí, porque equivale a "vamos a comprobar/veamos si llueve".
"Tiene que haber una razón" ¿es correcto?
Sí, aquí "haber" funciona como verbo, con el sentido de "existir".
¿Por qué se confunden tanto estas dos formas?
Porque suenan exactamente igual al hablar, aunque su función gramatical es completamente distinta.