A regra prática
Eu é pronome reto, usado como sujeito da frase: "Eu vou à festa". Mim é pronome oblíquo tônico, usado sempre depois de uma preposição (para, por, de, com, sem, entre etc.): "Isso é para mim", "ele fala de mim".
O truque infalível
"Mim" nunca pratica uma ação sozinho — ele nunca é sujeito de verbo no infinitivo diretamente. Teste: se a palavra vem logo depois de uma preposição, é mim. Se ela é quem faz a ação (sujeito), é eu.
O erro mais comum: "para eu fazer" x "para mim fazer"
Quando existe um verbo no infinitivo depois, e esse verbo tem um sujeito próprio, usa-se eu, mesmo depois de preposição: "isso é fácil para eu fazer" (eu é quem faz — sujeito do verbo "fazer"). Sem verbo depois, usa-se mim: "isso é fácil para mim".
Exemplos
Mim: "o presente é para mim", "não fale mal de mim", "entre mim e ela não há segredos".
Eu: "para eu resolver isso, preciso de tempo", "deixe eu explicar" (informal, ideal seria "deixe-me explicar").
Perguntas frequentes
Qual o teste mais rápido pra saber se é "mim" ou "eu"?
Veja se depois da preposição tem outro verbo com sujeito próprio: se tiver, use "eu" ("para eu ir"); se não tiver, use "mim" ("para mim").
"Entre eu e você" está certo?
Não, o correto é "entre mim e você", porque "mim" vem depois da preposição "entre".
"Para mim fazer isso" está certo?
Não — como "fazer" é um verbo com sujeito próprio, o correto é "para eu fazer isso".
Por que esse erro é tão comum?
Porque na fala informal "mim" soa mais "educado" ou formal para muita gente, mas a regra depende exclusivamente da função gramatical, não do grau de formalidade.